期望值

1、简介

在概率论和统计学中，期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望，物理学中称为期待值）是指在一个离散性随机变量试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。（换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。）

百度百科：https://baike.baidu.com/item/期望值?fromModule=lemma_search-box

期望值是概率论和统计学中的一个重要概念，表示随机变量在一次试验中可能取到的各个取值乘以其对应的概率之和。简单来说，期望值就是随机变量的平均值，它可以用来描述随机变量的中心位置。

设随机变量X的取值为x1,x2,...,xn，对应的概率为p1,p2,...,pn，则X的期望值E(X)为：

E(X) = x1p1 + x2p2 + ... + xn*pn

例如，抛一枚公正的硬币，正面朝上的概率为0.5，反面朝上的概率也为0.5。则硬币朝上的期望次数为：

E(X) = 0.5x1 + 0.5x0 = 0.5

即抛一枚硬币，期望朝上的次数为0.5次。

这个是计算的是期望概率，如果一定需要发送一次朝上的期望数目则是1 / 0.5 = 2。

2、实战

http://oj.acmclub.cn/problems/1021?from=recent&solution=667321

题目描述： 小时候，谷学长买了很多干脆面，因为一旦集齐所有类型的卡片就有大奖可拿。 谷学长很聪明的意识到要想集齐全套卡片就得买相当多的干脆面，为了尽可能的省钱，他想计算出每种类型卡片均获得一张应买干脆面的期望数目。

输入描述： 每个测试用例的第一行包含一个N(1 <= N <= 20), 表示干脆面里可能放置N种类型的卡片，第二行有N个数p1, p2, ..., pN, (p1 + p2 + ... + pN <= 1), 表示中到对应类型卡片的概率。 注意每袋干脆面最多只有一张卡片。

输出描述： 对于每组测试用例，输出集齐N张不同类型的卡片所买干脆面的期望数目。结果保留三位有效数字。

分析2种类型： 0.1 0.4 共有4种情况（0 0），（1 0），（0 1），（1 1）。 0.1x0.6

分析3种类型： 0.2 0.5 0.3 共有8种情况 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1

分析4种类型： 0.1 0.1 0.2 0.4 共有16种情况： 不中奖：1 只有1个中奖：4 只有2个中奖：6 只有3个中奖：4 全部中奖：1

对于N中类型，共有2^N种可能情况。

上述这种分析没有太大的意义，并不是2种类型就买2包进行计算概率。。。 而是需要想成一种动态规划，一种推导。 比如需要集成全部卡片，当买到1包需要的类型后，剩下需要找到N-1种类型，即N-1的期望数目，然后N-2，N-3等等。 虽然这种想法很美好，但是仔细一想，总会存在重复的情况。

最终找到：D:\Github\HanKin2015.github.io\source_posts\20181109NEUQ1021.md https://hankin2015.github.io/2018/11/09/20181109NEUQ1021/

容斥原理才是正确答案。